Algèbre de Boole
INTRODUCTION.
De nombreux dispositifs ont deux états stables de fonctionnement. Par exemple, un interrupteur peut être ouvert ou fermé ; un transistor, sous certaines conditions, peut être bloqué ou saturé, etc. On convient d’affecter, par convention, à un des deux états la valeur " 0 " et "1" à l’autre état.
L’algèbre de Boole est l’outil mathématique pour étudier ces dispositifs et les circuits logiques représentent l’outil technologique pour réaliser pratiquement les opérations de base de cette algèbre. En effet l’algèbre de Boole, appelée aussi algèbre binaire, a été fondée par le philosophe et mathématicien anglais Georges Boole vers 1850, avec un essai sur les raisonnements logiques binaires, c’est à dire l’étude des propositions qui ne peuvent être que vraies ou fausses ; tandis que vers 1938, l’américain Claude Shannon a appliqué cette algèbre à l’analyse des circuits électriques de commutation. Depuis lors, de grands progrès ont été accomplis jusqu’au microprocesseur de nos jours, unité centrale de tout "système intelligent".
OPERATIONS BOOLEENNES ELEMENTAIRES.
Trois opérations élémentaires suffisent pour définir une algèbre de Boole :
Ø l’inversion : Non (Not).
Ø le produit logique : ET (AND).
Ø la somme logique : OU (OR).
Dans ce qui suit, on se limite aux propriétés et théorèmes qui semblent avoir une plus grande importance. Notons que par abus de langage, on confond souvent “Opération” et “Fonction”, pour les 3 opérations de base.
Note : Par anticipation, on note aussi que ces 3 opérations sont aussi fréquemment désignées par le terme "Porte logique" provenant du terme anglais “Gate” qui désigne le circuit logique associé. Par exemple, on dit “Opération AND” ou “Fonction AND” ou “Porte AND”.
Opération Inversion.
C’est une opération définie sur une seule variable. La sortie prend la valeur que n’a pas l’entrée. On dit que la sortie est l’inverse ou le complément de l’entrée.
Opération ET (AND).
C’est une opération sur 2 variables d’entrée au moins. Dans le cas simple de 2 entrées A et B, la sortie est vraie (égale à 1) si A ET B sont vraies aussi.
Propriétés
Ø La fonction AND est commutative : F = A.B = B.A.
Ø La fonction AND est associative : F = A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C.
Ø La fonction AND est généralisable pour n entrées.
Ø Identités remarquables : X.0 = 0 , X.1 = X , X.X = X , X.X = 0.
Remarques.
La porte AND est souvent utilisée comme porte de validation ou de verrouillage d’une information.
Opération OU (OR).
C’est une opération sur 2 variables d’entrée au moins. Dans le cas simple de 2 entrées A et B, la sortie est vraie (égale à 1) si seulement A OU B est vraie. Cette opération est dite OU inclusive, car on inclut le cas (A=B=1 → F=1). On verra qu’il y a une autre fonction appelée OU exclusive.
Le signe "≥" indique que la sortie est égale à 1 si le nombre des entrées à "1" est supérieur ou égal à 1 ; autrement dit, une entrée au moins égale à "1".
Propriétés.
Ø La fonction OR est commutative : F = A+B = B+A.
Ø La fonction OR est associative : F = A+ (B+C) = (A+B)+C = A+B+C.
Ø La fonction OR est généralisable pour n entrées.
Ø Identités remarquables.
Propriétés et théorèmes remarquables.
Propriétés
En plus des propriétés et identités remarquables déjà vues, on se contente des 3 principes suivants :
Théorème de De Morgan.
Ce théorème d'une grande utilité, permet de calculer le complément d'une expression logique quelconque (somme de produits ou produit de sommes) :
D'une façon générale, Le complément d'une expression quelconque s'obtient en complémentant les variables et en permutant les opérateurs "+" et ".".
OPERATIONS DERIVEES.
Avec 2 variables A et B, on peut réaliser 16 opérations possibles Fi comme l’indique le tableau suivant :
A partir de ce tableau, en plus des opérations de base qu’on a vues, on note les plus significatives pratiquement :
Ø F1 qu’on nomme NOR (No OR).
Ø F7 qu’on nomme NAND (No AND).
Ø F6 qu’on nomme XOR (exclusiv OR).
Opération NAND.
C’est le complément de l’opération NAND.
Opération NOR.
C’est le complément de l’opération OR.
Opération XOR.
Comme on l’a signalé précédemment, cette opération diffère du OR classique ou inclusif ; l’examen de sa table de vérité ci dessous montre que F est égale à 1 si [(A=0 ET B=1) OU (A=1 ET B=0)] ; formellement, on écrit :
Le signe "=" indique que la sortie est égale à "1" si une entrée et une seule est égale à 1.
Propretés
Ø L’opération XOR est commutative : F = A+B = B+A.
Ø L’opération XOR est associative : F = A+ (B+C) = (A+B) +C = A+B+C.
Ø L’opération XOR n'est pas généralisable pour n entrées.
Remarques
Ø Le concept de programmabilité ou programmation est fondamental dans les systèmes logiques modernes. L'opération XOR a un caractère programmable ; on peut dire qu'il s'agit de l'opérateur programmable le plus élémentaire. En effet, en considérant la porte XOR et sa table de vérité, on remarque que :
Alors, suivant l'état de P, l'opérateur réalise la fonction OUI ou la fonction NON. On peut dire alors que P est l'entrée de programmation de cet opérateur.
Ø Il y a d'autres aspects programmables de la porte XOR ; en effet, elle peut être utilisée comme :
· Détecteur d'égalité :
· Détecteur de parité : Soit l'information formée par A et B. En s'intéressant au nombre de "1" contenu dans le mot AB, on constate que la sortie F est à "1" si ce nombre de "1" est impair.
